Cheops piramidine fermi yaklaşımı

Cheops piramidinde çalışan işçi sayısını tahmin etmeye çalışalım;
Önce taş ocağından inşaat alanına kadar taşınacak taşlar için kaç kişi gerektiğini hesaplayabiliriz. 4500 yıl öncesine ait elimizde güvenilir ve ayrıntılı veri olmadığından bu tür bir hesaplamanın bizi gerçeğe yaklaştıracağından emin olabiliriz . Profesyonel arkeolojinin bu konuda bilgi bakımından bizden bir adım önde olmadığını söyleyebiliri.
Fizik dersimizden aklımızda kalan formülleri hatırlamaya çalışarak hesaplamaya başlayabiliriz. Çözüm yolumuzun şu ara admılara bölelim :

- Günde kaç tane taş bloğu taşınmalıydı ?

- Her taş bloğunu taşıyan kızak için kaç kişi gerekliydi ?

- Bir kızağın hızı yaklaşık ne kadardı ?

- Aynı anda kaç tane kızak ekibi çalışıyor olmalıydı ?

Son üç soru için taş ocağından piramite kadar ve rampadaki yol için ayrı ayrı hesaplamalar yapacağız . Çünkü rampada eğik düzlem hesabıda yapacağız.
Önce cheops piramidinde kaç tane taş blok kullanılmış olabileceğini düşünelim .
147 metre yükseklik ve 233 metre kenar uzunluğu ile hacminin

V= l²h/3=2,65x10⁶ metre küp

V = Volüm, hacim  

 l =  kenar uzunluğu

 h = yükseklik

             
Bir taş bloğun yaklaşık bir metreküp olduğundan yola çıkarsak yaklaşık 2.650.000 taş blok gereklidir (Piramidin içerisindeki boşluklar “ mezar odaları ve koridorlar”  hesaba katılmadı) Piramidin tamamının bu taş bloklardan oluştuğu varsayıldı .

Şimdi de yılda Nil’ in taştığı dört ay boyunca çalışıldığını var sayarsak, yılda 120 günden 20 yılda 2400 iş günü yapar .Bu süre içerisinde bütün blokların taşınacağını düşünürsek blok sayısını güne bölerek günde yaklaşık 1000 tane taş bloğun taşınması gerektiğini buluruz .

Günde 12 saat çalışılsa, saatte yaklaşık 80 blok eder .        

(Bu hesaplamalarda ki püf noktası çok ince ve ayrıntılı hesaplamadan çok yuvarlayarak kaba tahminlerde bulunmaktır. Zincirleme yapılan uzun hesaplamalarda virgülün arkasındakalanları bile ihmal ederek sonuçta nekadar büyük sapmalar yaşanacağı meteoroloji tahminlerinde farkedlimiş ve buna şiirsel bir anlatımla ‘ Kelebek Etkisi ‘ denmiştir. Oysa Fermi tarzı yaklaşımda sadece genel büyüklüğü kestirmeye çalışırken hatalar birbirini arttırascağına nerdeyse kompanse eder)

Her Kızak Ekibinde kaç kişi vardı ?  

Bu sorunun cevabını bize fizik verecektir . Hesaplamamızı taş ocağından rampa başına kadar olan 400 metre ile sınırlandıralım. Başlangıçtaki sorunumuz, bloğu yerinden hareket ettirebilmek için ne kadar güç gerektiğini bulmaktır. Gerekenden daha az işçi ile sürtünme gücünü aşıp bloğu yerinden oynatamayabiliriz .

F_{Azami güç} = μxM x g

μ = Sürtünme katsayısı

M= Taşın kütlesi

g = yerçekimi

               
Taşın kütlesinin 2500 kg olduğunu varsayalım. Sürtünme katsayısı ıslak çamur kullanılarak 0.3 olsun.  (Taş ve ahşap üstündeki sürtünme katsayılarına bakarak kaba tahminle attım)

F = yaklaşık 7350 N olarak buluruz.

Şimdi de bir işçinin halata hangi güçle asıldığını araştıralım;

Bir yetişkin 25 kg lik bir çuvalı çokta zorlanmadan kaldırabilir. Yani 250 N güce ihtiyaç vardır . Böylece 7350 N u aşacak güç için yaklaşık 30 işçi gerekmektedir .

                 

Şimdi de kızağın hızını hesaplayalım;

Taş bloğu bir kere yerinden oynadıktan sonra daha az güçle hareket ettirmenin mümkün olduğunu biliyoru. Sürtünme katsayısını aşacak bir güç, bloğu yerine ulaştırana kadar hareket ettirebilecektir. Sürtünme katsayısı olarak 0.2 yi alırsak .

İşçilerin yaptığı iş:

W = F x S ten,  P = W/t = F x V

               

Ergonometrik ölçümlere göre bir insan uzun süre yorulmadan yaklaşık 100 W enerji harcayabilir. Yani 30 işçi 3000 W enerji harcar .

Bu verilerden şimdi hızı hesaplayabiliriz .

  

V = P/F = P/ μ x M x g rakamları yerlerine koyarsak;

V= 3000 W / 0.2 x 2500 kg x 9.80 m/s² = 0.6 m/s

Yaklaşık saatte2i km hız demektir .

 Bu ideal koşullarda gerçekleşebilecek bir hızdır.

Biz bunu aşağı yuvarlayarak saatte 1 km hız olarak kabul edelim. 

               

Şimdiye değin taş ocağından rampaya kadar gerekli olan kızak ve işçi sayısını bulduk.

Saatte 1 km hızla 400 metrelik yol t = s/v den  24 dakikada alınır.

Kızağın yüklenmesi boşaltılması ve geri gidiş dahil ortalama saatte bir tane taş blok taşınabileceğini varsayabiliriz.

Günde 10 saat üzerinden (12 saatin 10 saati çalışma anlamında kullanılabise, aksamalar olacaktır muhtemelen) bir ekibin günde 10 tane taş blok taşıyabileceğini, 1000 tane taş için ise 30 ar kişilik 100 tane kızak ekibine ihtiyaç olduğunu , taş ocağından piramit tabanına kadar taş bloklarını taşımak için yaklaşık 3000 işçiye ihtiyaç olduğunu varsayabiliriz .

               

RAMPADA

 

Rampanın başına kadar getirilen taş blokların yerine ulaşana kadar dikey olarakta taşınması gerekecektir. Rampanın şekli ve uzunluğu hakkında hiç bir bilgimiz yok. Düz bir rampa olsaydı, rampanın kendisi piramit gibi devasa bir yapı olurdu . Dolayısıyla sipiral şeklinde farklı eğimlerde bir çok rampanın olduğunu varsaymak daha akla yakın . Yaklaşık 20 derece eğimli rampalardan yola çıkabiliriz. Piramit yükseldikçe rampa yolları uzamıştır . Yani kızak ekibinin katetmesi gereken yol daha uzun olmuştur. Bu tür hesaplar karmaşıktır . Öyleyse tipik bir ortalama durumdan yola çıkalım .

Piramitin denge noktası, piramit yüksekliğinin 4/1  i civarındadır .

Yani h=147m/4 = yaklaşık 37 metre . 

Katedilmesi gereken yol s = h/sin α = 107 m bulunur. 

Artık eğik düzlem hesabı yapabiliriz . Sürtünme katsayısı azalırken, dikey olarak katedecekleri yol daha fazla güç gerektirecektir.

F = m x g (μ cos α + sin α )

α = 20 derece için rakamları yerine koyarsak, yaklaşık 15.300 N buluruz.

İşçi başına 250 N güçten yola çıkarak rampada her kızakta yaklaşık 60 kişinin çalışması gerektiğini varsayabiliriz.

Rampaya kadar gelen kızağın ekibi rampa başında arttırılarak ta yola devam ediliyor yada başka bir ekip tarafından devralınıyor olabilirdi.

Bu tür düşüncelerin sonucu değiştirecek etkisi yoktur. Çözüm yolları çok farklı olabilir .

Rampadaki hızı v = P/F den yola çıkarak hesaplarsak 60x100W = 6000W.

Eğik düzlemdeki sürtünme katsayısını da hesaplarsak v = P/m x g x (μ cos α + sin α ) = 0.45 m/s = 1.6 km/s eder .

Yine ideal koşullarda hesap yaptık. Belki kısa alanda çok fazla ekip bulunduğundan daha yavaş yol alacaklardı.

Biz rampadaki kızak hızını saatte 0.8 km olarak kabul edelim.

Şimdi t = s/v den gerekli zamanı hesaplarak yaklaşık 8 dakika buluruz.

Taşı kızaktan indirmek ve boş kızakla geri dönmek yaklaşık 20 dakika sürsün.

Saatte ancak üç tane blok taşıyabilir bir ekip. Günde 10 saat üzerinden bir ekip ancak 30 blok taşıyabilir.  Günde 1000 bloğun taşınabilmesi için 60 ar kişilik ekiplerden oluşan 33 tane kızak gerekir. 

Buda rampa bölümünde yaklaşık 2000 işçi eder.  

107 metrelik bir rampada kısa bir mesafede bu kadar kızağı ve insanı yerleştirmek oldukça zor olsa gerektir.  Piramitin alt katmanlarında henüz geniş alanlarımız varken birden fazla rampanın olduğunu varsaymak akıllıca olsa gerektir.

Sonuçta bu sınırlı sorumuza bulduğumuz cevap;

 
400 metrelik düzlemde 3000 işçiye + rampada 2000 işçiye olmak üzere toplam 5000 işçiye ihtiyacımız olduğunu bulduk.

Hastalık, kazalar, kutlamalar vs.  gibi diğer faktörleri gözardı ettik.

Lojistik destek  için gerekli işçi sayısını toplam 10000 olarak düşünmek mümkün.

Taş ocaklarında çalışanlar. Kızakları yükleyip indirenler, Kızakların kayganlığını sağlayanlar, Taşları yerine yerleştirenler, planlama, o zaman kullanılan bakırdan yapılma aletlerin dayanıksızlığı ve sık sık tamir edilmesi gerekliliği vs. gibi etkenleri de gözönüne alarak o çağlarda 20.000 kişi ile bu işin hakkından gelinmiş olabileceğini söyleyebiliriz.

Kadeş savaşında 20.000 lik 100.000 lik orduların lojistiği, sevk ve idaresi yapılabildiğine göre, mısırlılar aynı şekilde piramit inşasını da pek hala planlamış ve yürütmüş olabilirler.

*

Daha fazla ayrıntıya girmeyi Arkeologlara, Fizikçilere ve Matematikçilere bırakabiliriz. Bir hafta sonu bulmaca çözer gibi böyle fikir yürütmek oldukça zihin açıcı bir egzersizdir ve test usulünde olduğu gibi sadece eğik düzlemde ağırlıkların yukarı çekilmesi hesaplarından farklı olarak, öğrencilere çok daha geniş bir perspektif ve pratik yaklaşım imkanı sağlar. Hızlı tahminlerde bulunabilir. Hangi formulü niçin ve nerde pratik hayata uygulayacağını, nasıl uygulayacağını bilir. Bazen sonuca ulaşmak için çok fazla ayrıntıda boğulmadan, takılıp kalmadan ilerlemeyi öğrenir.Hangi konuda ve kimden yardım isteyeceğini, grup içinde konulara göre nasıl iş bölümü yapabileceklerini , değişik derslerde gördüklerini ve  eski birikimlerini kullanmay öğrenir, pekiştirirler. Eksik oldukları konuları öğrenmek için fırsat bulacak, soru sorarak, teorik olarak ta olsa fikir jimnastikleri yapmayı, sonuca gitmenin tatminini yaşayacaklardır kuşkusuz.

* - Yaptığımız bu fikir jimnastiğinde hiç bir gerçeklik iddiamız yoktur. Tamamen teorik bir fikir jimnastiğidir. Umarım sizde benim kadar eğlenmişsinizdir.

* - Bu yazımızda elimize kağıt kalem alıp deneysel tarih - deneysel arkeoloji yapalım dedik. Piramitler hakkında biraz önbilgi vererek başlangıç yaptık.

* - Tarihsel ve  arkeolojik olarak hiç bir doğruluk iddiamız yoktur.