Sihirli kareler

 Barcelona da Temple Expiatori de la Sagrada Família’nın passions cephesinden bir görüntü. (modern mimarinin öncülerinden sayılan Antonio Gaudi tarafından 1882 de yapılmaya başlanılan fakat  Gaudi'nin 1926'da bir tramvayın altında kalarak ölmesi sonucu yarım kalan 'bazilika' tabir edilen bir kilisedir. Erken Hıristiyan ve Ortaçağ mimarilerinde, yan geçitleri bulunan (yan nef), galerili veya galerisiz kiliselere bazilika denir. Aya İrini gibi söz gelimi)

Buradaki tam bir sihirli kare sayılmaz aslında.  Çünkü 1'den 16'ya kadar tüm rakamlar kullanılmamıştır. 12 ve 16 sayıları yoktur dikkat edilirse. Buna karşın 10 ve 14 sayısı iki kez kullanılmış. Sihirli sabit 33. Bu sayı Hz. İsa’nın öldüğü yaştır. Dürer‘in sihirli karesine benzer. 11, 12, 15 ve 16 sayılarından 1 çıkartarak ve bazı satır ve sütunları değiştirerek de bulunabilir.

1	14	14	4
11	7	6	9
8	10	10	5
13	2	3	15

Süper beyin yarışması

 

Alman ZDF kanalında “Deutschlands Superhirn – Almanya’nın Süper Beyni“ adlı bellek gösterisi sergileyen bellek ustalarının bir yarışmasında, bir bellek ustası yüz saniyede yüz kişinin simasını ve sırasını aklında tutmayı başarırken, bir diğeri bin kadar bebeğin yüzünü ezberlemiş. Ama Robin Wersig’in gösterisi seyircilerin verdiği yüzde yetmiş oyla birincilik almış.

Wersig seyircilerden o anda 747 sayısını almış. 64 kareli, satranç tahtası gibi bir alana arkasını dönerek körleme rakamlar söylemiş, filanca kareye şu rakam şeklinde. Ortaya sihirli bir kare çıkmış. Satırları, sütunları ve köşegenleri topladığınızda seyircilerin verdiği 747 rakamı çıkıyormuş. Muhteşem bir gösteri. Herkes etkilenmiş.

Gelin sihirli kareleri biraz inceleyelim. Yaklaşık 2,200 yıldır bilinen, sembolizmde, büyücülerin ve falcıların, aslı muhtemelen aramitçe’ den gelme, kökü taa mısır hiyerogliflerine dayanan, ama Arapça ve hebrece alfabelerindeki harflere atanan bir sayı sistemiyle (ebçed hesabı)  hesapladıkları rakamları, bir kare ya da dikdörtgen matris içine satır, sütun ve köşegenler boyunca toplamı aynı sayıyı verecek şekilde yerleştirmekle elde ettikleri karelere ‘ Sihirli Kareler ‘  denir. Toplamda hep aynı çıkan sayıya da ‘Sihirli Sabit ’ denir. Çin'de ve diğer kültürlerde de, astroloji, fal bakma, felsefi yorumlama, doğa olayları ve insan davranışları dâhil olmak üzere değişik çalışma alanlarında kullanılmıştır. 19. yüzyılın sonlarında matematikçiler sihirli kareleri olasılık ve analiz problemlerinde uygulamaya başlamışlardır.

Sihirli karelerin oldukça çok çeşitleri vardır. 

Mesela sadece asal sayılardan oluşan bir sihirli kare düşünün. 

Ya da sayıların karesinden oluşan bir sihirli kare

.

9x9 luk bu kare 369 sayısını veriyor. )n adet 3 x 3 sihirli kareden oluşan bir mega sihirli kare. 9+ 8 9+54 9+45    9+72 9+36 9+ 0     9+26     9+18     9+63

Toplamı 260 olan 8x8 lik bu kare, her birinin toplamı 130 olan 4 adet sihirli kareden oluşuyor.

...

Sihirli kareler rakamlarla yapılabileceği gibi harflerle de yapılabilir.

S	A	T	O	R
A	R	E	P	O
T	E	N	E	T
O	P	E	R	A
R	O	T	A	S

Kare dışında şekiller de vardır ;

 Çeşitleri burada keselim, makaleyi boğmayalım. Merak edenler için internette çok farklı çeşitleri de vardır.

Petek

Ya da örümcek ağı gibi.

  Melankoli I

 
En ünlü sihirli karelerden birisi de Albrecht Dürer’in Melancholia I adlı bakır gravüründe yer almaktadır.


Melankoli I den bir ayrıntı (Detay)
En ünlü sihirli karelerden birisi de Albrecht Dürer’in Melancholia Iadlı bakır gravüründe yer almaktadır.

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Dürer’ in karesi simetrik bir sihirli kare’dir.

Ortadaki kare bölgesinin ve kareyi artı şeklinde dörde böldüğümüzde, oluşan her dört çeyrekteki sayıların toplamı da 34'tür.

Saat yönünde ikişer atlayarak toplanırsa da 34 çıkar (8+14+9+3 ve 12+15+5+2).

Uçurtma şeklindeki toplamlarda 34 rakamını verir. (2+10+8+14; 3+9+7+15) .

Son satırın ortasındaki 1524 sayısı Dürer'in çalışmasını bitirdiği yılı verir
(Annesinin ölüm yılıdır aynı anda)

Son satırın başındaki 4 rakamı ve sonundaki 1 rakamı, alfabedeki 4. ve 1. harfleri sembolize ederek Dürer Albrecht’in imzasını anlatır.

Lo-Shu, toplamı 15 olan bu sihirli kare Satürn damgası olarak da anılır.

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Robin Wersig, 64 kareden oluşan (satranç tahtasını düşünün) bir sihirli kareyi körleme doldurmuş.

Satranç tahtasında matematik

Satranç oyuncuları atın değerini bilirler. Hiçbir taş onun gibi hareket edemez. At, satranç oyununda hareketi sırasında diğer taşların üzerinden atlayabilen tek taştır. Her yöne yalnızca 'L' biçiminde hareket eder. İki kare dikey ve bir kare yatay, ya da iki kare yatay ve bir kere dik gibi. Tüm satranç tahtasını tüm karelere sadece bir kere basarak atla dolaşabilir misiniz?

Yani;

Ve  diğer olası seçenekler;

Atın zıplayarak gidebileceği tüm seçenekler

Ya da 8 veziri birbirini göremeyecek (alamayacak) şeklide satranç tahtasına yerleştirebilir misin?
Gibi güzel ve ilginç sorular vardır.

Matematikçiler her kareye sadece bir kez basarak tüm tahtayı atla dolaşmanın milyarlarca farklı yolu olabileceğini hesaplamışlar sözgelimi.

  18. yy da büyük matematikçi Leonard Euler de sihirli kareler üzerinde at sıçramasıyla uğraşmış. Matematikçiler o zamanlar da her alana sadece bir kez basarak atın tüm 64 kareyi dolaşabileceği bir rut aramışlar.  Sayıları da sırayla 1 den 64 e kadar dağıtalım ve ortaya bir sihirli kare çıksın demişler. Yani sihirli kareler için at sıçramasıyla çizilecek bir sihirli rut varmıydı. Aslında bu çizge kuramında rut üzerinde her düğümün sadece bir kez kullanıldığı bir Hamilton çemberi problemidir ve daha basit olan Euler çember probleminden farklıdır diyebiliriz.

En son 2003 yılında süper bilgisayarlarla yapılan bir araştırmada 1 den 64 e kadar olan sayıları at sıçrayışıyla karelere dağıtarak köşegenlerin de toplamı 260 olan bir sihirli karenin mümkün olmadığı saptanmış.

Wersig te 64 kareyi işte aynı mantıkla dolaşmış sayıları yerleştirirken. Sonuçta ortaya bir sihirli kare çıkmış. Yatay, dikey ve köşegenlerin toplamı 747 çıkmış.

Sıkı durun. 747 rakamını seyirci vermiş.

Wersig böyle bir şemayı kullanmış olmalı sayıları yerleştireceği kareleri seçerken. Ve 1 den 64 e kadar sayıların yerleştirildiği bir sihirli kare hazır şablonu kullanmış olmalı. Böyle bir sihir karenin sihirli sabiti 260 tır.

Bu 64 sayı iki aşamada değişmiş olmalı. Öyle ki satır ve sütun toplamları 747 çıksın.

Örneğin üçe üçlük bir sihirli kareye bakalım. Birden dokuza kadar sayıları yerleştirelim. Sihirli sabiti 15 olan bir sihirli kare elde ederiz.

9 5 1
4 3 8
2 7 6

Şimdide sözgelimi her sayıya kolaylık olsun diye on ekleyelim.

19 15 11
14 13 18
12 17 16

Görüldüğü üzere her satır ve sütunun toplamı 30 (3 x 10 = 30) artarak 15 olan sihirli sabit 45 e yükselmiş oldu. Eğer 11 eklemiş olsaydık bu sihirli sabit 48 olurdu (3 x 11 = 33 + 15= 48). Ya da 9 ekleseydik 42 olurdu. Yani her bir sayı arttırmakla sihirli sabiti 3 arttırmış oluruz.

Buraya kadar kolay. Peki ya sihirli sabitin 45 değil de sözgelimi 47 olmasını isteseydik?

Kolay. En büyük üç sayıya 2 eklersiniz.

22 15 11
14 13 21
12 20 16

Çünkü bunlar bir üçlü oluştururlar ve her satır ve sütuna dağılırlar. (Aynı işi en küçük üç sayıya ya da başka bir üçlüye de uygulayabilirsiniz). Böylece her satır ve sütun da 2 değerinde artmış olur.

Peki, 64 lük bir sihirli karenin sihirli sabiti 260. Ama 747 yi nasıl elde ederiz?

260 + 8 X 60 = 740 

1. Adımda tüm sayılara 60 ekleriz.
 
İkinci adımda en büyük 8 sayıya 7 ekleyerek her satır ve sütunu yükselterek 747 elde ederiz.
Gerisi de at sıçrama şablonuna göre sayıları yerine yerleştirmek. Bu yöntemle bazı sayılar ardışık olarak tam olmayacak, en büyük ve en küçük iki sayı arasında bazıları eksik kalacak ve mükemmel bir sihirli kare olmayacak ama yatay ve diket sütunlarda 747 sayısı ortaya çıkacaktır elbette.

Elbette ki biraz kafa hesabı ve bellek gerekiyor. Ama görüldüğü gibi kafa hesabından çok bellek gibi. Bir ön çalışma yapmış olmak lazım. Ama şov dünyasında da seyirciyi etkilemesini iyi bileceksiniz. Çok çalışıp zor işler başarmaktansa daha etkileyici ama kolay numaralar bulmak günümüz hızlı tüketen gösteri (show dünyası) için önemli bir gereklilik olsa gerek.

 64 lük sihirli kare

 ye 72 eklenmiş hali

16 5 9 4 2 11 7 14 3 10 6 15 13 8 12 1

Yang-Hui-Quadrat